Постройте график функции f(x)=-x2 - 6x – 5. Пользуясь графиком, найдите: 1) промежуток убывания функции; 2) множество решений неравенства - х²-6x-5 ≤0.

Анализируем функцию:

Смотри, какая у нас квадратичная функция: \( f(x) = -x^2 - 6x - 5 \).

Это парабола, ветви которой направлены вниз (потому что коэффициент перед \( x^2 \) отрицательный). Чтобы построить график, найдем вершину параболы и точки пересечения с осью x.

• Вершина параболы:

Координата x вершины: \( x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \cdot (-1)} = -3 \)

Координата y вершины: \( y_v = f(-3) = -(-3)^2 - 6 \cdot (-3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 \)

Итак, вершина параболы в точке (-3, 4).

• Пересечение с осью x:

Чтобы найти точки пересечения с осью x, приравняем функцию к нулю: \( -x^2 - 6x - 5 = 0 \)

Умножим на -1, чтобы было проще считать: \( x^2 + 6x + 5 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \)

Корни: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 4}{2} = -1 \), \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 4}{2} = -5 \)

Точки пересечения с осью x: (-1, 0) и (-5, 0).

Ответы на вопросы:

• 1) Промежуток убывания функции:

Так как ветви параболы направлены вниз, функция убывает справа от вершины. Значит, промежуток убывания: \( x \in (-3; +\infty) \)

• 2) Множество решений неравенства \( -x^2 - 6x - 5 \le 0 \):

Неравенство выполняется там, где парабола находится ниже оси x или на ней. Это происходит слева от точки (-5, 0) и справа от точки (-1, 0). Значит, множество решений: \( x \in (-\infty; -5] \cup [-1; +\infty) \)