Постройте график функции $$y = |x^2 - x - 2|$$. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Для начала построим график функции $$y = x^2 - x - 2$$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $$x^2$$ положительный (равен 1).

Найдем вершины параболы:

$$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2\cdot1} = \frac{1}{2} = 0.5$$

$$y_в = (0.5)^2 - 0.5 - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25$$

Вершина параболы находится в точке $$(0.5; -2.25)$$.

Теперь найдем точки пересечения параболы с осью x, то есть решим уравнение $$x^2 - x - 2 = 0$$.

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 1$$

$$x_1 \cdot x_2 = -2$$

Корни уравнения: $$x_1 = -1$$ и $$x_2 = 2$$.

Точки пересечения с осью x: $$(-1; 0)$$ и $$(2; 0)$$.

Чтобы построить график функции $$y = |x^2 - x - 2|$$, отразим часть графика функции $$y = x^2 - x - 2$$, которая находится ниже оси x, симметрично относительно оси x.

После отражения вершина параболы станет точкой $$(0.5; 2.25)$$.

Теперь рассмотрим прямые, параллельные оси абсцисс, то есть прямые вида $$y = c$$, где $$c$$ - константа.

Чтобы найти наибольшее количество общих точек между графиком функции $$y = |x^2 - x - 2|$$ и прямой $$y = c$$, нужно провести прямую так, чтобы она пересекала график в максимальном количестве точек.

Рассмотрим прямую, проходящую через вершину отраженной параболы, то есть $$y = 2.25$$. Эта прямая будет иметь три общие точки с графиком $$y = |x^2 - x - 2|$$.

Рассмотрим прямую, проходящую чуть ниже вершины отраженной параболы, например, $$y = 2$$. Эта прямая будет иметь четыре общие точки с графиком $$y = |x^2 - x - 2|$$.

Таким образом, наибольшее число общих точек графика данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс, равно 4.

Ответ: 4