Пользуясь данными рисунка, найдите сумму MP и AC, если известно, что $$S_{ABC} : S_{PMK} = 9 : 4$$.

Привет! Давай решим эту задачу вместе. Нам нужно найти сумму длин отрезков MP и AC, зная отношение площадей треугольников ABC и PMK.

1. Анализ условия:

• $$S_{ABC} : S_{PMK} = 9 : 4$$ означает, что площадь треугольника ABC в 9/4 раза больше площади треугольника PMK.
• Угол B у треугольника ABC и угол M у треугольника PMK равны. Это ключевой момент!

2. Используем формулу площади треугольника:

Площадь треугольника можно выразить как половину произведения двух сторон на синус угла между ними. То есть:

$$S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)$$

Для наших треугольников:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BA \cdot BC \cdot \sin(B)$$ $$S_{PMK} = \frac{1}{2} \cdot MP \cdot MK \cdot \sin(M)$$

3. Составляем отношение площадей:

Поскольку углы B и M равны, их синусы тоже равны. Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{PMK}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BA \cdot BC \cdot \sin(B)}{\frac{1}{2} \cdot MP \cdot MK \cdot \sin(M)} = \frac{BA \cdot BC}{MP \cdot MK} = \frac{9}{4}$$

4. Подставляем известные значения:

Из рисунка мы знаем, что MK = 11 и BA = 12. Подставим эти значения в наше уравнение:

$$\frac{12 \cdot BC}{5 \cdot 11} = \frac{9}{4}$$

5. Находим BC:

Теперь решим уравнение относительно BC:

$$BC = \frac{9 \cdot 5 \cdot 11}{4 \cdot 12} = \frac{495}{48} = \frac{165}{16}$$

6. Подобие треугольников:

Треугольники ABC и PMK подобны, поскольку у них равные углы B и M, а также отношение сторон, прилежащих к этим углам, пропорционально.

Следовательно, можно записать отношение соответствующих сторон:

$$\frac{AC}{PK} = \frac{BA}{MK} = \frac{BC}{MP}$$

Отсюда:

$$\frac{AC}{5} = \frac{12}{11}$$

7. Находим AC:

$$AC = \frac{12 \cdot 5}{11} = \frac{60}{11}$$

8. Находим MP:

Используем то, что BC/MK = 9/4

$$\frac{MP}{BC} = \frac{4}{9}$$ $$MP = \frac{4}{9} \cdot BC = \frac{4}{9} \cdot \frac{165}{16} = \frac{165}{36} = \frac{55}{12}$$

9. Находим сумму MP + AC:

$$MP + AC = \frac{55}{12} + \frac{60}{11} = \frac{55 \cdot 11 + 60 \cdot 12}{12 \cdot 11} = \frac{605 + 720}{132} = \frac{1325}{132}$$

Ответ:

Сумма MP + AC равна 1325/132.

Ответ: 1325/132