Решение задачи 108

Из древних равенств Архита можно получить современные определения среднего арифметического, геометрического и гармонического.

1. Среднее арифметическое (m):

Древнее равенство: (a - m = m - a)

Преобразуем:

$$a - m = m - a$$ $$2a = 2m$$ $$m = a$$

В современной нотации для двух чисел a и b, среднее арифметическое:

$$m = \frac{a+b}{2}$$
2. Среднее геометрическое (g):

Древнее равенство: (a : g = g : a)

Преобразуем:

$$\frac{a}{g} = \frac{g}{b}$$ $$g^2 = ab$$ $$g = \sqrt{ab}$$Среднее гармоническое (h):

Древнее равенство: ((a - h) : a = (h - b) : b)

Преобразуем:

$$\frac{a - h}{a} = \frac{h - b}{b}$$ $$b(a - h) = a(h - b)$$ $$ab - bh = ah - ab$$ $$2ab = ah + bh$$ $$2ab = h(a + b)$$ $$h = \frac{2ab}{a + b}$$

Ответ:

• Среднее арифметическое: $$m = \frac{a+b}{2}$$
• Среднее геометрическое: $$g = \sqrt{ab}$$
• Среднее гармоническое: $$h = \frac{2ab}{a + b}$$