Решение задачи:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол B - прямой. Пусть AB = 8, BC - неизвестно, AC - неизвестно, CD = 12, BD - высота, проведенная к гипотенузе AC.

1. Сначала найдем длину высоты BD. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. По теореме Пифагора:

$$BC^2 = BD^2 + CD^2$$

Мы не знаем BC и BD, поэтому пока не можем найти BD. Заметим, что треугольник ABD тоже прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = BD^2 + AD^2$$

Но мы также не знаем AD и BD.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

Заметим, что AC = AD + DC = AD + 12. Тогда:

$$(AD + 12)^2 = 8^2 + BC^2$$

$$AD^2 + 24AD + 144 = 64 + BC^2$$

$$AD^2 + 24AD + 80 = BC^2$$

3. Из прямоугольного треугольника ABD:

$$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 64 - AD^2$$

4. Используем свойство высоты, проведенной из прямого угла в прямоугольном треугольнике: $$BD^2 = AD * DC$$. Тогда

$$64 - AD^2 = 12 * AD$$

$$AD^2 + 12AD - 64 = 0$$

Решим квадратное уравнение для AD:

$$D = 12^2 - 4 * 1 * (-64) = 144 + 256 = 400$$

$$AD = (-12 \pm \sqrt{400}) / 2 = (-12 \pm 20) / 2$$

$$AD_1 = (-12 + 20) / 2 = 8 / 2 = 4$$

$$AD_2 = (-12 - 20) / 2 = -32 / 2 = -16$$ (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Итак, AD = 4.

5. Теперь можем найти AC = AD + DC = 4 + 12 = 16.

6. Найдем BC из теоремы Пифагора для треугольника ABC:

$$BC^2 = AC^2 - AB^2 = 16^2 - 8^2 = 256 - 64 = 192$$

$$BC = \sqrt{192} = \sqrt{64 * 3} = 8\sqrt{3}$$

Ответ: AC = 16, BC = 8√3