Доказательство равенства BN и CM

На рисунке изображён прямоугольник ABCD, в котором точки M и N лежат на стороне AD, причём отрезок AD является основанием прямоугольника. Также на рисунке проведены диагонали прямоугольника AC и BD, которые пересекаются. По условию, BN = CM.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольник ABCD. В прямоугольнике противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, AB = CD и AB || CD. Все углы прямоугольника равны 90 градусам.

2. Рассмотрим треугольники ABN и DCM. В этих треугольниках:

• AB = CD (как противоположные стороны прямоугольника),
• ∠BAN = ∠CDM = 90° (как углы прямоугольника),
• BN = CM (по условию).

3. Следовательно, треугольники ABN и DCM равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

4. Из равенства треугольников ABN и DCM следует, что AN = DM (как соответственные стороны равных треугольников).

5. Так как AD = BC (как противоположные стороны прямоугольника), то AD = AM + MN + ND и BC = BN + NC. Из равенства AD и BC, и учитывая, что BN = CM и AN = DM, можно сделать вывод, что MN = NC.

6. Таким образом, мы доказали, что BN = CM.