Площадь прямоугольного треугольника равна 512√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

1. Пусть катеты равны a и b, а гипотенуза c. Площадь S = (1/2)ab = 512√3.
2. Один из острых углов равен 60°, значит, другой равен 30°. Пусть угол при катете a равен 60°, тогда b = a * tan(30°) = a/√3.
3. Подставляем b в формулу площади: (1/2) * a * (a/√3) = 512√3. Получаем a² = 512 * 3 = 1536. Отсюда a = √1536 = 32√1.5. Это неверно. Пересчитаем. Угол при катете a равен 60°, тогда b = a * tan(30°) = a/√3. Это неверно. Если угол при катете a равен 60°, то b = a * tan(60°) = a√3. Площадь: (1/2) * a * (a√3) = 512√3. Получаем a² = 1024. Отсюда a = 32.