2. Площадь прямоугольного треугольника равна 15 дм², а сумма его катетов равна 11 дм. Найдите катеты.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$a$$ и $$b$$. Тогда площадь треугольника равна $$\frac{1}{2}ab$$, а сумма катетов $$a + b$$.

Из условия задачи имеем:

$$\begin{cases} \frac{1}{2}ab = 15 \\ a + b = 11 \end{cases}$$

1. Выразим $$b$$ через $$a$$ из второго уравнения: $$b = 11 - a$$.
2. Подставим это выражение в первое уравнение: $$\frac{1}{2}a(11 - a) = 15$$.
3. Упростим уравнение: $$a(11 - a) = 30$$ $$11a - a^2 = 30$$ $$a^2 - 11a + 30 = 0$$.
4. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = (-11)^2 - 4(1)(30) = 121 - 120 = 1$$. Корни: $$a_1 = \frac{11 + \sqrt{1}}{2} = \frac{11 + 1}{2} = 6$$ $$a_2 = \frac{11 - \sqrt{1}}{2} = \frac{11 - 1}{2} = 5$$.
5. Найдем соответствующие значения $$b$$: Если $$a_1 = 6$$, то $$b_1 = 11 - 6 = 5$$. Если $$a_2 = 5$$, то $$b_2 = 11 - 5 = 6$$.

Ответ: 5 дм, 6 дм