17. Площадь прямоугольного треугольника равна $$\frac{242\sqrt{3}}{3}$$. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Обозначим катет, прилежащий к углу 30°, как а, а противолежащий катет как b. Площадь прямоугольного треугольника выражается формулой: $$S = \frac{1}{2}ab$$ По условию $$S = \frac{242\sqrt{3}}{3}$$. Значит, $$\frac{1}{2}ab = \frac{242\sqrt{3}}{3}$$ $$ab = \frac{484\sqrt{3}}{3}$$ Тангенс угла 30° равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $$tg(30^\circ) = \frac{b}{a}$$ $$b = a \cdot tg(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$$ Подставим выражение для b в уравнение для площади: $$a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{484\sqrt{3}}{3}$$ $$a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{484\sqrt{3}}{3}$$ $$a^2 = 484$$ $$a = \sqrt{484} = 22$$ Ответ: 22