1. Площадь прямоугольника ABCD равна 15. Найдите сторону BC прямоугольника, если известно, что AB = 3. 2. Найдите медиану прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, равной 14. 3. Один из двух острых угла прямоугольного треугольника на 30° меньше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах. 4. В ромбе АВСD проведена диагональ АС. Найдите ДАВС, если известно, что ∠ACD = 25°. 5. В прямоугольном треугольнике АВК гипотенуза АВ равна 13, катет АК равен 12, катет ВК равен 8. Найдите тангенс угла А. 6. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах

1. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $$S = AB \cdot BC$$. Отсюда, $$BC = \frac{S}{AB} = \frac{15}{3} = 5$$. 2. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, медиана равна $$ \frac{14}{2} = 7 $$. 3. Пусть один острый угол равен $$x$$, тогда другой равен $$x + 30^{\circ}$$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°: $$x + x + 30^{\circ} = 90^{\circ}$$. Отсюда $$2x = 60^{\circ}$$, $$x = 30^{\circ}$$. Тогда больший угол равен $$30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$$. 4. В ромбе диагональ AC является биссектрисой угла $$ \angle BCD$$, поэтому $$ \angle BCA = \angle ACD = 25^{\circ}$$. В ромбе противоположные стороны параллельны, следовательно, $$ \angle BAC = \angle ACD = 25^{\circ}$$ как накрест лежащие углы. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, $$ \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle BCA = 180^{\circ} - 25^{\circ} - 25^{\circ} = 130^{\circ}$$. 5. Проверим, является ли треугольник прямоугольным, воспользовавшись теоремой Пифагора: $$AB^2 = AK^2 + BK^2$$. $$13^2 = 169$$, $$12^2 + 8^2 = 144 + 64 = 208$$. Так как $$169
eq 208$$, то треугольник не является прямоугольным. В условии ошибка, примем, что треугольник прямоугольный, тогда тангенс угла A равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $$tg A = \frac{BK}{AK} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$. 6. Фигура состоит из прямоугольника размером 5 см х 2 см и двух одинаковых прямоугольных треугольников с катетами 2 см и 1 см. Площадь прямоугольника: $$5 \cdot 2 = 10 \text{ см}^2$$. Площадь одного треугольника: $$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \text{ см}^2$$. Площадь двух треугольников: $$2 \cdot 1 = 2 \text{ см}^2$$. Общая площадь фигуры: $$10 + 2 = 12 \text{ см}^2$$.