перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 7°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Дано:

• Ромб ABCD.
• Точка O — точка пересечения диагоналей.
• OK — перпендикуляр к стороне AB (OK $$\bot$$ AB).
• Угол между OK и диагональю AC равен 7° (угол KOC = 7°).

Решение:

1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то есть $$ \text{Угол } AOB = 90^\text{о} $$.
2. Диагонали ромба делят углы ромба пополам.
3. В ромбе $$ AO = OC $$ и $$ BO = OD $$.
4. Рассмотрим треугольник AOK. $$ \text{Угол } OAK + \text{Угол } AKO + \text{Угол } KAO = 180^\text{о} $$.
5. $$ \text{Угол } AKO = 90^\text{о} $$ (так как OK перпендикуляр).
6. $$ \text{Угол } OAK $$ (угол между диагональю AO и перпендикуляром OK).
7. $$ \text{Угол } KOC = 7^\text{о} $$. Так как $$ AO = OC $$, то $$ \text{Угол } OAC = \text{Угол } OCA $$.
8. Угол $$ AOC = 90^\text{о} $$.
9. В треугольнике AOC, $$ \text{Угол } OAC + \text{Угол } OCA = 90^\text{о} $$.
10. $$ \text{Угол } OAC = \text{Угол } OCA = \frac{90^\text{о}}{2} = 45^\text{о} $$.
11. $$ \text{Угол } OAK = \text{Угол } OAC - \text{Угол } KAC $$.
12. Нам дан угол между OK и диагональю AC, т.е. $$ \text{Угол } KOC = 7^\text{о} $$.
13. В треугольнике KOC: $$ \text{Угол } OCK + \text{Угол } COK + \text{Угол } OKС = 180^\text{о} $$.
14. $$ \text{Угол } OCK = \text{Угол } C = 12^\text{о} $$. (Это из другого задания, здесь не подходит).
15. Вернемся к треугольнику AOK. $$ \text{Угол } KAO = \text{Угол } BAC $$. $$ \text{Угол } AKO = 90^\text{о} $$.
16. Рассмотрим $$ \triangle AOB $$. $$ \text{Угол } OAB + \text{Угол } OBA = 90^\text{о} $$.
17. $$ \text{Угол } KOC = 7^\text{о} $$. $$ \text{Угол } AOC = 90^\text{о} $$.
18. $$ \text{Угол } AOK = 90^\text{о} - \text{Угол } KOC = 90^\text{о} - 7^\text{о} = 83^\text{о} $$. (Это если бы OK был на AC, но OK на AB).
19. Рассмотрим $$ \triangle OAB $$. $$ \text{Угол } OAB $$ и $$ \text{Угол } OBA $$ — половины углов ромба.
20. $$ OK \bot AB $$. $$ \text{Угол } KOC = 7^\text{о} $$. $$ AO = OC $$.
21. В $$ \triangle OAK $$, $$ \text{Угол } OAK + \text{Угол } AOK = 90^\text{о} $$.
22. В $$ \triangle OCK $$, $$ \text{Угол } OCK + \text{Угол } COK = 90^\text{о} $$.
23. $$ \text{Угол } KOC = 7^\text{о} $$.
24. $$ \text{Угол } OCK = \text{Угол } OAC $$. (Так как $$ \triangle AOC $$ равнобедренный).
25. $$ \text{Угол } OAC = \text{Угол } OCA $$.
26. $$ \text{Угол } AOC = 90^\text{о} $$. $$ \text{Угол } OAC = \text{Угол } OCA = 45^\text{о} $$.
27. Значит, $$ \text{Угол } OCK = 45^\text{о} $$.
28. Но нам дано, что $$ \text{Угол } KOC = 7^\text{о} $$. Это противоречие.
29. Перечитаем условие: «перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 7°».
30. Пусть OK $$\bot$$ AB. Диагонали AC и BD. Точка пересечения O.
31. Пусть угол между OK и диагональю AC равен 7°. Это может быть $$ \text{Угол } KOC = 7^\text{о} $$ или $$ \text{Угол } KOA = 7^\text{о} $$.
32. Рассмотрим $$ \triangle OAK $$. $$ \text{Угол } OAK + \text{Угол } AOK = 90^\text{о} $$.
33. $$ \text{Угол } AOK $$ - половина угла ромба.
34. $$ \text{Угол } OAK $$ - половина угла ромба.
35. Пусть $$ \text{Угол } KOC = 7^\text{о} $$. $$ \triangle OCK $$ — прямоугольный. $$ \text{Угол } OCK = 90^\text{о} - 7^\text{о} = 83^\text{о} $$.
36. $$ \text{Угол } OCK $$ — это половина угла $$ \text{BCD} $$.
37. Значит, $$ \text{Угол } BCD = 2 \times 83^\text{о} = 166^\text{о} $$. Это тупой угол.
38. Острый угол ромба: $$ 180^\text{о} - 166^\text{о} = 14^\text{о} $$.
39. Теперь проверим, если угол между OK и диагональю BD равен 7°.
40. Рассмотрим $$ \triangle OBK $$. $$ \text{Угол } OBK + \text{Угол } BOK = 90^\text{о} $$.
41. $$ \text{Угол } BOK = 90^\text{о} $$. $$ \text{Угол } OBK = \text{Угол } DBC $$.
42. Если угол между OK и BD равен 7°, то $$ \text{Угол } KOB = 7^\text{о} $$.
43. В $$ \triangle OBK $$, $$ \text{Угол } OBK = 90^\text{о} - 7^\text{о} = 83^\text{о} $$.
44. $$ \text{Угол } OBK $$ — это половина угла $$ \text{ABC} $$.
45. Значит, $$ \text{Угол } ABC = 2 \times 83^\text{о} = 166^\text{о} $$. Это тупой угол.
46. Острый угол ромба: $$ 180^\text{о} - 166^\text{о} = 14^\text{о} $$.
47. В обоих случаях острый угол равен 14°.
48. Но давайте рассмотрим случай, когда угол между OK и диагональю AC равен 7°. $$ \text{Угол } KOA = 7^\text{о} $$.
49. В $$ \triangle OAK $$, $$ \text{Угол } OAK = 90^\text{о} - 7^\text{о} = 83^\text{о} $$.
50. $$ \text{Угол } OAK $$ — это половина $$ \text{Угла } DAB $$.
51. $$ \text{Угол } DAB = 2 \times 83^\text{о} = 166^\text{о} $$. Это тупой угол.
52. Острый угол ромба: $$ 180^\text{о} - 166^\text{о} = 14^\text{о} $$.
53. Еще раз: перпендикуляр OK к стороне AB. Диагонали AC и BD. Точка O.
54. Рассмотрим $$ \triangle OAB $$. $$ \text{Угол } OAB = \text{половина } \text{Угла } DAB $$. $$ \text{Угол } OBA = \text{половина } \text{Угла } ABC $$. $$ \text{Угол } AOB = 90^\text{о} $$.
55. OK $$\bot$$ AB.
56. Пусть угол между OK и диагональю AC равен 7°.
57. $$ \text{Угол } KAO $$ — это $$ \text{Угол } CAB $$.
58. $$ \text{Угол } KAO + \text{Угол } AOK = 90^\text{о} $$.
59. $$ \text{Угол } AOK = \text{Угол } BAC $$.
60. $$ \text{Угол } OAK = \text{Угол } BAC $$.
61. $$ \text{Угол } KOC = 7^\text{о} $$. $$ \text{Угол } OCA = \text{Угол } OAC $$.
62. $$ \text{Угол } AOC = 90^\text{о} $$. $$ \text{Угол } OAC = 45^\text{о} $$.
63. $$ \text{Угол } OCK $$ = $$ \text{Угол } OCA $$ = 45°.
64. $$ \text{Угол } KOC = 7^\text{о} $$.
65. $$ \text{Угол } OCK = 90^\text{о} - 7^\text{о} = 83^\text{о} $$. (Это угол в прямоугольном треугольнике OCK).
66. $$ \text{Угол } OCK $$ = $$ \text{Угол } BCA $$.
67. $$ \text{Угол } BCA = 83^\text{о} $$.
68. $$ \text{Угол } BCD = 2 \times 83^\text{о} = 166^\text{о} $$.
69. Тогда острый угол ромба $$ 180^\text{о} - 166^\text{о} = 14^\text{о} $$.
70. Давайте проверим, если угол между OK и диагональю BD равен 7°.
71. $$ \text{Угол } KOB = 7^\text{о} $$. $$ \triangle OBK $$ — прямоугольный.
72. $$ \text{Угол } OBK = 90^\text{о} - 7^\text{о} = 83^\text{о} $$.
73. $$ \text{Угол } OBK $$ — это $$ \text{Угол } ABC/2 $$.
74. $$ \text{Угол } ABC = 2 \times 83^\text{о} = 166^\text{о} $$.
75. Острый угол ромба $$ 180^\text{о} - 166^\text{о} = 14^\text{о} $$.
76. В обоих случаях получается 14°. Но это кажется неправильным.
77. Давайте представим ромб. Диагонали AC и BD. Точка O. OK $$\bot$$ AB.
78. Пусть $$ \text{Угол } OAB = \text{a} $$ и $$ \text{Угол } OBA = \text{b} $$. $$ a + b = 90^\text{о} $$.
79. $$ \text{Угол } BAC = a $$. $$ \text{Угол } ABC = 2b $$.
80. $$ \text{Угол } KAO = a $$. $$ \text{Угол } AKO = 90^\text{о} $$.
81. $$ \text{Угол } AOK = 90^\text{о} - a = b $$.
82. Пусть угол между OK и диагональю AC равен 7°.
83. Это означает, что $$ \text{Угол } KOA = 7^\text{о} $$ или $$ \text{Угол } KOC = 7^\text{о} $$.
84. Если $$ \text{Угол } KOA = 7^\text{о} $$, то $$ a = \text{Угол } OAK = 90^\text{о} - 7^\text{о} = 83^\text{о} $$.
85. Тогда $$ b = 90^\text{о} - 83^\text{о} = 7^\text{о} $$.
86. Острый угол ромба $$ 2a = 166^\text{о} $$ (тупой) или $$ 2b = 14^\text{о} $$ (острый).
87. Значит, острый угол ромба = $$ 2 \times 7^\text{о} = 14^\text{о} $$.
88. Если $$ \text{Угол } KOC = 7^\text{о} $$. $$ \triangle OCK $$ — прямоугольный. $$ \text{Угол } OCK = 90^\text{о} - 7^\text{о} = 83^\text{о} $$.
89. $$ \text{Угол } OCK $$ — это половина $$ \text{Угла } BCD $$.
90. $$ \text{Угол } BCD = 2 \times 83^\text{о} = 166^\text{о} $$.
91. Острый угол ромба $$ 180^\text{о} - 166^\text{о} = 14^\text{о} $$.
92. В обоих случаях острый угол равен 14°.
93. Давайте проверим еще раз.
94. Пусть $$ \text{Угол } CAB = \text{a} $$ и $$ \text{Угол } CBA = \text{b} $$. $$ a+b = 90^\text{о} $$.
95. $$ \text{Угол } DAB = 2a $$, $$ \text{Угол } ABC = 2b $$.
96. $$ OK \bot AB $$.
97. В $$ \triangle OAK $$, $$ \text{Угол } AOK = 90^\text{о} - a = b $$.
98. Угол между OK и диагональю AC = $$ \text{Угол } KOA = b $$.
99. По условию, этот угол равен 7°. Значит, $$ b = 7^\text{о} $$.
100. Тогда $$ a = 90^\text{о} - 7^\text{о} = 83^\text{о} $$.
101. Острый угол ромба — это $$ 2b $$ (если $$ b < 45^\text{о} $$) или $$ 2a $$ (если $$ a < 45^\text{о} $$).
102. В нашем случае $$ b = 7^\text{о} $$, $$ a = 83^\text{о} $$.
103. Острый угол ромба — это $$ 2b = 2 \times 7^\text{о} = 14^\text{о} $$.
104. Тупой угол ромба — это $$ 2a = 2 \times 83^\text{о} = 166^\text{о} $$.
105. $$ 14^\text{о} + 166^\text{о} = 180^\text{о} $$.
106. Значит, острый угол ромба равен 14°.

Ответ: 14