3. Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а боковая сторона - 5. Найдите площадь треугольника.

Пусть $$P$$ - периметр, $$a$$ - боковая сторона, $$b$$ - основание. Тогда $$P = 2a + b$$. Из условия $$P = 16$$ и $$a = 5$$, следовательно, $$16 = 2 cdot 5 + b$$, откуда $$b = 16 - 10 = 6$$. Теперь найдем высоту $$h$$, опущенную на основание. Высота в равнобедренном треугольнике является также медианой, поэтому она делит основание пополам. Получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой $$a=5$$ и катетом, равным половине основания, то есть $$b/2 = 3$$. По теореме Пифагора: $$h^2 + (b/2)^2 = a^2$$ $$h^2 + 3^2 = 5^2$$ $$h^2 + 9 = 25$$ $$h^2 = 16$$ $$h = 4$$ Площадь треугольника $$S = rac{1}{2} cdot b cdot h = rac{1}{2} cdot 6 cdot 4 = 12$$. Ответ: 12