Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного четырёхугольника, вписанного в ту же окружность.

Пусть a - сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, и b - сторона правильного четырехугольника (квадрата), вписанного в ту же окружность.

Периметр правильного треугольника равен 3a. Следовательно, 3a = 45 см, откуда a = 15 см.

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен:

$$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \text{ см}.$$

Радиус окружности, описанной около правильного четырехугольника (квадрата), равен:

$$R = \frac{b\sqrt{2}}{2}.$$

Так как окружность одна и та же, то радиусы равны:

$$\frac{b\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{3}.$$

Выразим b:

$$b = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{6} \text{ см}.$$

Ответ: Сторона правильного четырехугольника равна $$5\sqrt{6}$$ см.