Парабола проходит через точки А(0; -4), B(-1; –11), С(4; 4). Найдите координаты ее вершины.

Для решения задачи нам нужно найти уравнение параболы вида $$y = ax^2 + bx + c$$, проходящей через заданные точки, а затем определить координаты её вершины. Подставим координаты точек A, B и C в уравнение параболы, чтобы получить систему уравнений: 1. Для точки A(0, -4): $$-4 = a(0)^2 + b(0) + c$$ $$c = -4$$ 2. Для точки B(-1, -11): $$-11 = a(-1)^2 + b(-1) + c$$ $$-11 = a - b + c$$ 3. Для точки C(4, 4): $$4 = a(4)^2 + b(4) + c$$ $$4 = 16a + 4b + c$$ Теперь у нас есть система уравнений: $$\begin{cases} c = -4 \\ a - b + c = -11 \\ 16a + 4b + c = 4 \end{cases}$$ Подставим $$c = -4$$ во второе и третье уравнения: $$\begin{cases} a - b - 4 = -11 \\ 16a + 4b - 4 = 4 \end{cases}$$ $$\begin{cases} a - b = -7 \\ 16a + 4b = 8 \end{cases}$$ Решим эту систему уравнений. Умножим первое уравнение на 4: $$\begin{cases} 4a - 4b = -28 \\ 16a + 4b = 8 \end{cases}$$ Сложим эти два уравнения: $$20a = -20$$ $$a = -1$$ Теперь подставим $$a = -1$$ в уравнение $$a - b = -7$$: $$-1 - b = -7$$ $$b = 6$$ Итак, у нас есть $$a = -1$$, $$b = 6$$, $$c = -4$$. Таким образом, уравнение параболы: $$y = -x^2 + 6x - 4$$ Чтобы найти координаты вершины параболы, воспользуемся формулой $$x_v = -\frac{b}{2a}$$: $$x_v = -\frac{6}{2(-1)} = 3$$ Теперь найдем $$y_v$$, подставив $$x_v = 3$$ в уравнение параболы: $$y_v = -(3)^2 + 6(3) - 4$$ $$y_v = -9 + 18 - 4$$ $$y_v = 5$$ Таким образом, координаты вершины параболы: (3, 5).