Контрольные задания > Pᴀᴍɴᴋ = 16, AB = BC = AC AM = BM, BN = NC, AK = CK Найти: Р∆АВС
Вопрос:

Pᴀᴍɴᴋ = 16, AB = BC = AC AM = BM, BN = NC, AK = CK Найти: Р∆АВС

Ответ:

  1. Так как (AB = BC = AC), то треугольник ABC - равносторонний.
  2. Так как (AM = BM), (BN = NC), (AK = CK), то отрезки MN, NK, MK являются средними линиями треугольника ABC.
  3. Средняя линия треугольника равна половине основания, поэтому (MN = rac{1}{2}AC), (NK = rac{1}{2}AB), (MK = rac{1}{2}BC).
  4. Периметр треугольника AMNK: (P_{AMNK} = AM + MN + NK + AK = 16).
  5. Так как (MN = rac{1}{2}AC), (NK = rac{1}{2}AB), (MK = rac{1}{2}BC) и (AB = BC = AC), то (MN = NK = MK). Следовательно, треугольник MNK - равносторонний.
  6. Периметр треугольника MNK: (P_{MNK} = MN + NK + MK = 3MN). Так как (P_{AMNK} = 16), а MN, NK и MK - средние линии, то $$P_{MNK} = rac{1}{2} P_{ABC}$$ или $$P_{MNK} = MN + NK + MK = 3MN$$
  7. Также можно заметить, что (AM = BM = BN = NC = AK = KC). Обозначим (AM = x). Тогда (AB = AM + MB = x + x = 2x). Аналогично, (BC = 2x) и (AC = 2x).
  8. Периметр треугольника ABC: (P_{ABC} = AB + BC + AC = 2x + 2x + 2x = 6x).
  9. Периметр треугольника AMNK состоит из трех равных сторон AM, AN и AK, плюс стороны MN, NK, MK, каждая из которых равна половине стороны большого треугольника. Тогда: $$P_{AMNK} = AM + AN + AK + MN + NK + MK$$ Заметим, что AN = NC, MK = KC, тогда периметр равен: $$P_{AMNK} = AM + NC + AK + \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}P_{ABC}$$
  10. Так как (P_{AMNK} = 16), то: $$16 = \frac{1}{2} P_{ABC}$$ Отсюда: $$P_{ABC} = 16 \cdot 2 = 32$$
Ответ: 32.
Смотреть решения всех заданий с листа

Похожие