Отрезок BM — медиана равнобедренного треугольника ABC (AB = BC). На стороне AB отметили точку K такую, что KM || BC. Докажите, что BK = KM.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AB = BC \), BM — медиана, \( KM \parallel BC \), K лежит на AB.

Доказать: \( BK = KM \).

Доказательство:

1. Так как BM — медиана \( \triangle ABC \) и \( AB = BC \), то BM является также высотой и биссектрисой. Следовательно, \( BM \perp AC \) и \( \angle ABM = \angle CBM \).
2. Рассмотрим \( \triangle BKM \). Нам нужно доказать, что он равнобедренный с основанием BK. Для этого достаточно доказать, что \( \angle BKM = \angle KBM \).
3. Так как \( KM \parallel BC \) и BM — секущая, то \( \angle BKM = \angle CBM \) (как накрест лежащие углы).
4. Из свойства медианы равнобедренного треугольника следует, что \( \angle KBM = \angle CBM \) (так как BM — биссектриса).
5. Из равенств \( \angle BKM = \angle CBM \) и \( \angle KBM = \angle CBM \) следует, что \( \angle BKM = \angle KBM \).
6. Следовательно, \( \triangle BKM \) — равнобедренный с основанием BK, и \( BK = KM \).

Что и требовалось доказать.