Отрезок АН – перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности ради- уса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружно- сти, если: а) ОА = 5 см, АН = 4 см; б) ∠HAO = 45°, OA = 4 см; B) ∠HAO = 30°, ОА = 6 см?

Ответ: а) - нет, б) - нет, в) - да

Решение:

• Для того чтобы прямая AH была касательной к окружности, необходимо и достаточно, чтобы угол между AH и радиусом OA был прямым (90 градусов).
• Воспользуемся теоремой Пифагора и тригонометрическими функциями для определения, является ли угол OHA прямым.

а) ОА = 5 см, АН = 4 см, радиус Окружности = 3 см

• Если угол OHA прямой, то треугольник OHA - прямоугольный, и выполняется теорема Пифагора: OA² = OH² + AH².
• Проверим: 5² = 3² + 4² => 25 = 9 + 16 => 25 = 25.
• Теорема Пифагора выполняется, значит, треугольник OHA прямоугольный, и угол OHA прямой.
• Вывод: Прямая AH является касательной к окружности.

б) ∠HAO = 45°, OA = 4 см, радиус Окружности = 3 см

• В прямоугольном треугольнике OHA: sin(∠HAO) = OH / OA.
• sin(45°) = 3 / 4 => √2 / 2 = 0.75 => 0.707 ≈ 0.75.
• Равенство не выполняется, значит, угол OHA не прямой.
• Вывод: Прямая AH не является касательной к окружности.

в) ∠HAO = 30°, ОА = 6 см, радиус Окружности = 3 см

• В прямоугольном треугольнике OHA: sin(∠HAO) = OH / OA.
• sin(30°) = 3 / 6 => 0.5 = 0.5.
• Равенство выполняется, значит, угол OHA прямой.
• Вывод: Прямая AH является касательной к окружности.

Ответ: а) - нет, б) - нет, в) - да