149 Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите свойства хорд: а) хорды ВД и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

Ответ:

Доказательство:

1. Дано:

   • AB и CD – диаметры окружности с центром O.

2. Доказать:

   • а) BD = AC
   • б) AD = BC
   • в) ∠BAD = ∠BCD

Решение:

1. Рассмотрим углы:

   • ∠BOD и ∠AOC – центральные углы.
   • ∠BOD = ∠AOC (как вертикальные).

2. Рассмотрим дуги:

   • Дуга BD = дуге AC (так как центральные углы, опирающиеся на эти дуги, равны).

3. а) Хорды BD и AC равны, так как они стягивают равные дуги.

4. б) Рассмотрим углы:

   • ∠AOD и ∠BOC – центральные углы.
   • ∠AOD = ∠BOC (как вертикальные).

5. Рассмотрим дуги:

   • Дуга AD = дуге BC (так как центральные углы, опирающиеся на эти дуги, равны).

6. б) Хорды AD и BC равны, так как они стягивают равные дуги.

7. в) ∠BAD и ∠BCD – вписанные углы.

8. ∠BAD опирается на дугу BD, ∠BCD опирается на дугу AD.

9. Т.к. дуга AD = дуге BC (см. пункт 5), то ∠BAD = ∠BCD (как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги).

Ч.Т.Д.

Ответ: Доказано.