44 Отрезки АВ и CD — диаметры окруж- ности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; B) ∠BAD = ∠BCD.

Дано: Окружность с центром O, AB и CD - диаметры.

Доказать:

а) BD = AC

б) AD = BC

в) ∠BAD = ∠BCD.

Доказательство:

а) Рассмотрим треугольники BOD и AOC.

BO = AO = CO = DO (как радиусы окружности)

∠BOD = ∠AOC (как вертикальные)

Следовательно, ΔBOD = ΔAOC (по двум сторонам и углу между ними)

Из равенства треугольников следует, что BD = AC.

б) Рассмотрим треугольники AOD и BOC.

AO = BO = CO = DO (как радиусы окружности)

∠AOD = ∠BOC (как вертикальные)

Следовательно, ΔAOD = ΔBOC (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что AD = BC.

в) ∠BAD = ∠BCD (как вписанные углы, опирающиеся на равные хорды BD и AC).

Ответ: Доказано.