564. От прямоугольного листа картона длиной 26 см отрезали с двух сторон квадраты, сторона каждого из которых равна ширине листа. Площадь оставшейся части равна 80 см². Найдите ши- рину листа картона. Покажите, что задача имеет два решения, и для каждого случая сделайте чертёж (Р табе 1 : 2).

Пусть $$x$$ - ширина листа картона. Тогда сторона каждого из отрезанных квадратов равна $$x$$. Длина оставшейся части листа после отрезания квадратов равна $$26 - 2x$$. Площадь оставшейся части равна произведению ширины на длину, то есть $$x(26 - 2x)$$. По условию задачи эта площадь равна 80 см², поэтому:

$$x(26 - 2x) = 80$$

$$26x - 2x^2 = 80$$

$$2x^2 - 26x + 80 = 0$$

$$x^2 - 13x + 40 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9$$

$$x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 3}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Оба корня положительные и меньше половины длины листа (13 см), поэтому оба являются решениями.

Случай 1: Ширина листа равна 8 см. Длина оставшейся части равна $$26 - 2 \cdot 8 = 26 - 16 = 10$$ см. Площадь оставшейся части равна $$8 \cdot 10 = 80$$ см².

Случай 2: Ширина листа равна 5 см. Длина оставшейся части равна $$26 - 2 \cdot 5 = 26 - 10 = 16$$ см. Площадь оставшейся части равна $$5 \cdot 16 = 80$$ см².

Ответ: 5 и 8