Острый угол \(B\) прямоугольного треугольника \(ABC\) равен 30°. Найдите угол между медианой \(CM\) и биссектрисой \(CD\), проведенными из вершины прямого угла.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту геометрическую задачу вместе. **1. Анализ условия и построение чертежа:** У нас есть прямоугольный треугольник \(ABC\), где угол \(C\) прямой (90°), а угол \(B\) равен 30°. Из вершины прямого угла \(C\) проведены медиана \(CM\) и биссектриса \(CD\). **2. Нахождение угла \(A\):** Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол \(A\) можно найти как: \[\angle A = 180° - \angle B - \angle C = 180° - 30° - 90° = 60°\] **3. Свойство медианы в прямоугольном треугольнике:** Медиана, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы и является радиусом описанной окружности. Следовательно, \(AM = MB = CM\). Это означает, что треугольник \(AMC\) - равнобедренный, и \(\angle MAC = \angle MCA = 60°\). **4. Нахождение угла \(ACD\):** Так как \(CD\) - биссектриса угла \(C\), то она делит прямой угол \(C\) пополам: \[\angle ACD = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45°\] **5. Нахождение угла \(MCD\):** Теперь, когда мы знаем углы \(MCA\) и \(ACD\), мы можем найти угол \(MCD\) как разницу между углом \(MCA\) и углом \(ACD\): \[\angle MCD = |\angle MCA - \angle ACD| = |60° - 45°| = 15°\] **Ответ:** Угол между медианой \(CM\) и биссектрисой \(CD\) равен 15°. Надеюсь, это объяснение было понятным. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!