57. Основания трапеции равны 8 и 15, одна из боковых сторон равна 5/2, а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите пло- щадь трапеции.

Опустим высоту из вершины верхнего основания к нижнему.

Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник. Угол между боковой стороной и нижним основанием равен 135°, значит, смежный угол равен 180° - 135° = 45°.

Т.к. один из углов прямоугольного треугольника равен 45°, то второй угол тоже равен 45°, а значит, треугольник равнобедренный. Следовательно, высота трапеции равна катету прямоугольного треугольника, образованного высотой, опущенной из вершины верхнего основания.

Пусть высота равна h, тогда по теореме Пифагора:

$$(5\sqrt{2})^2 = h^2 + h^2$$

$$50 = 2h^2$$

$$h^2 = 25$$

$$h = 5$$

Высота трапеции равна 5.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

$$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$

$$S = \frac{8+15}{2} \cdot 5 = \frac{23}{2} \cdot 5 = 11.5 \cdot 5 = 57.5$$

Ответ: 57.5