241 Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит че- рез точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

1) Рассмотрим параллелограмм ABCD, где AB = CD = 5 м, BC = AD = 4 м, AC = 3 м.

2) По теореме косинусов:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos B$$

$$3^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot cos B$$

$$9 = 25 + 16 - 40 \cdot cos B$$

$$40 \cdot cos B = 41 - 9 = 32$$

$$cos B = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} = 0.8$$

$$B = arccos(0.8) \approx 36.87^\circ$$

Значит, больший угол параллелограмма равен $$180^\circ - 36.87^\circ = 143.13^\circ$$

3) Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними:

$$S = a \cdot b \cdot sin B = 5 \cdot 4 \cdot sin 36.87^\circ = 20 \cdot 0.6 = 12 \text{ м}^2$$

4) Высота параллелограмма, проведенная к большей стороне:

$$h = b \cdot sin B = 4 \cdot sin 36.87^\circ = 4 \cdot 0.6 = 2.4 \text{ м}$$

5) Высота параллелограмма, проведенная к меньшей стороне:

$$h = a \cdot sin B = 5 \cdot sin 36.87^\circ = 5 \cdot 0.6 = 3 \text{ м}$$

6) Так как высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания, то боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Апофемы боковых граней:

$$l = \sqrt{h^2 + H^2}$$

Для граней, опирающихся на сторону 5 м:

$$l_1 = \sqrt{2.4^2 + 2^2} = \sqrt{5.76 + 4} = \sqrt{9.76} \approx 3.124 \text{ м}$$

Для граней, опирающихся на сторону 4 м:

$$l_2 = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3.606 \text{ м}$$

7) Площадь боковой поверхности пирамиды:

$$S_{бок} = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot l_1 + \frac{1}{2} \cdot b \cdot l_2) = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3.124 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3.606) = 2 \cdot (7.81 + 7.212) = 2 \cdot 15.022 = 30.044 \text{ м}^2$$

8) Площадь полной поверхности пирамиды:

$$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 30.044 + 12 = 42.044 \text{ м}^2$$

Ответ: $$42.044 \text{ м}^2$$