242 Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой гра- ни, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоско- сти основания под углом 45°. Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверх- ности пирамиды.

Решение:

Пусть дана пирамида EABCD, основанием которой является квадрат ABCD. Ребро ED перпендикулярно плоскости основания. Плоскость EBC наклонена к плоскости основания под углом 45°. EC = 12 см - наибольшее боковое ребро.

а) Найдем высоту пирамиды ED.

1. Угол между плоскостью EBC и плоскостью основания ABCD - это угол между перпендикуляром BF к прямой BC и прямой FC, где FC - проекция ребра EC на плоскость основания. Угол BFC = 45°.

2. В прямоугольном треугольнике EFC гипотенуза EC = 12 см. Катет FC равен:

$$FC = EC \cdot cos FEC = 12 \cdot cos 45^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см}$$

3. Так как ABCD - квадрат, то FC = AB = AD = 6√2 см.

4. В прямоугольном треугольнике BFC катеты BF = FC = 6√2 см, тогда BC = 6√2 см.

5. В прямоугольном треугольнике EBC:

$$EB = \sqrt{EC^2 - BC^2} = \sqrt{12^2 - (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{144 - 72} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ см}$$

6. Так как DE перпендикулярен основанию, и DA перпендикулярен AB, то ADEB - прямоугольник.

7. $$ED = \sqrt{EB^2 - BD^2}$$ - не подходит, т.к. в условии задачи не сказано, что EB - высота.

8. Треугольник BFC - равнобедренный. BC = AB = FC = 6√2 см.

9. Тогда $$ED = FC = 6\sqrt{2} \text{ см}$$

б) Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

1. $$S_{ABCD} = AB^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72 \text{ см}^2$$

2. $$S_{AED} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot ED = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 2 = 36 \text{ см}^2$$

3. $$S_{EDC} = \frac{1}{2} \cdot ED \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 2 = 36 \text{ см}^2$$

4. $$S_{EBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot EB = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 2 = 36 \text{ см}^2$$

5. $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{72 + 72} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

6. $$AE = \sqrt{AD^2 + ED^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{72 + 72} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

7. $$S_{AEB} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt{2} = 36\sqrt{2} \text{ см}^2$$

8. $$S_{бок} = S_{AED} + S_{EDC} + S_{EBC} + S_{AEB} = 36 + 36 + 36 + 36\sqrt{2} = 108 + 36\sqrt{2} \approx 158.91 \text{ см}^2$$

Ответ:

а) $$ED = 6\sqrt{2} \text{ см}$$

б) $$108 + 36\sqrt{2} \approx 158.91 \text{ см}^2$$