Основание АВ трапеции ABCD параллельно плоскости α, а вершина С лежит в этой плоскости. Докажите, что: а) основание CD трапеции лежит в плоскости α; б) средняя линия трапеции параллельна плоскости α.

а) Докажем, что основание CD трапеции лежит в плоскости α.

По условию, основание AB трапеции ABCD параллельно плоскости α, а вершина C лежит в этой плоскости. Трапеция ABCD имеет два основания: AB и CD, которые параллельны друг другу. Это означает, что прямая CD параллельна прямой AB.

Если прямая AB параллельна плоскости α, то любая прямая, параллельная AB, также параллельна плоскости α. Следовательно, прямая CD параллельна плоскости α.

Поскольку вершина C трапеции лежит в плоскости α, а прямая CD параллельна плоскости α, то все точки прямой CD лежат в плоскости α. Таким образом, основание CD трапеции лежит в плоскости α.

б) Докажем, что средняя линия трапеции параллельна плоскости α.

Средняя линия трапеции - это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Обозначим середины боковых сторон AD и BC трапеции ABCD как E и F соответственно. Тогда EF - средняя линия трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции. Таким образом, EF параллельна AB и CD.

Поскольку AB параллельна плоскости α (по условию), а EF параллельна AB, то EF также параллельна плоскости α. Таким образом, средняя линия трапеции параллельна плоскости α.