На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и Е так, что длина отрезка DE равна 5 см и $$ \frac{BD}{DA} = \frac{2}{3}$$. Плоскость α проходит через точки В и С и параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка ВС.

Обозначим длину отрезка BD как 2x, тогда DA будет 3x. Следовательно, длина стороны AB равна BD + DA = 2x + 3x = 5x.

Рассмотрим треугольники ABC и ADE. Так как DE || BC (по условию, плоскость α, проходящая через BC, параллельна DE), то углы ADE и ABC равны как соответственные углы при параллельных прямых DE и BC и секущей AB. Аналогично, углы AED и ACB равны.

Таким образом, треугольники ADE и ABC подобны по двум углам (угол A - общий, углы ADE и ABC равны, углы AED и ACB равны).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $$ \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} $$

Подставим известные значения: $$ \frac{5}{BC} = \frac{3x}{5x} $$

Упростим выражение: $$ \frac{5}{BC} = \frac{3}{5} $$

Теперь найдем длину отрезка BC: $$ BC = \frac{5 \cdot 5}{3} = \frac{25}{3} $$

BC = 8 \frac{1}{3} см.

Ответ: Длина отрезка BC равна $$8 \frac{1}{3} $$ см.