Решение задач

519. Определите степень, старший коэффициент и свободный член многочлена, тождественно равного произведению:

а) (-2x³ – 3x² + x – 1)(3x² – x – 2)

Сначала выполним умножение многочленов:

$$ (-2x^3 - 3x^2 + x - 1)(3x^2 - x - 2) = -6x^5 + 2x^4 + 4x^3 - 9x^4 + 3x^3 + 6x^2 + 3x^3 - x^2 - 2x - 3x^2 + x + 2 = -6x^5 - 7x^4 + 10x^3 + 2x^2 - x + 2 $$

Степень многочлена: 5

Старший коэффициент: -6

Свободный член: 2

б) (x⁵ – 5)(-2x⁶ – x³ + 3)

Сначала выполним умножение многочленов:

$$ (x^5 - 5)(-2x^6 - x^3 + 3) = -2x^{11} - x^8 + 3x^5 + 10x^6 + 5x^3 - 15 = -2x^{11} - x^8 + 10x^6 + 3x^5 + 5x^3 - 15 $$

Степень многочлена: 11

Старший коэффициент: -2

Свободный член: -15

в) (2xⁿ – 3xⁿ⁻¹ + ... + 2x + 3)(-xⁿ + xⁿ⁻¹ – xⁿ⁻² + ... + x + 1)

Степень многочлена: 2n

Старший коэффициент: -2

Чтобы найти свободный член, нужно перемножить свободные члены каждого многочлена: 3 × 1 = 3.

Свободный член: 3

520. Выполните умножение:

a) (x + 4)(x + 2)

$$ (x + 4)(x + 2) = x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 + 6x + 8 $$

б) (a – 1)(a + 3)

$$ (a - 1)(a + 3) = a^2 + 3a - a - 3 = a^2 + 2a - 3 $$

в) (-3 – x)(x + 1)

$$ (-3 - x)(x + 1) = -3x - 3 - x^2 - x = -x^2 - 4x - 3 $$

г) (2у – 2)(4 – y)

$$ (2y - 2)(4 - y) = 8y - 2y^2 - 8 + 2y = -2y^2 + 10y - 8 $$

д) (2а + 1)(3a – 2)

$$ (2a + 1)(3a - 2) = 6a^2 - 4a + 3a - 2 = 6a^2 - a - 2 $$

e) (5a – b)(4a + b)

$$ (5a - b)(4a + b) = 20a^2 + 5ab - 4ab - b^2 = 20a^2 + ab - b^2 $$

521. Представьте в виде многочлена:

a) –(a + 4)(a – 2)

$$ -(a + 4)(a - 2) = -(a^2 - 2a + 4a - 8) = -(a^2 + 2a - 8) = -a^2 - 2a + 8 $$

б) –(2x + 8)(x + 1)

$$ -(2x + 8)(x + 1) = -(2x^2 + 2x + 8x + 8) = -(2x^2 + 10x + 8) = -2x^2 - 10x - 8 $$

в) –(3a + b)(a – b)

$$ -(3a + b)(a - b) = -(3a^2 - 3ab + ab - b^2) = -(3a^2 - 2ab - b^2) = -3a^2 + 2ab + b^2 $$

г) –(x – 2y)(x – 3y)

$$ -(x - 2y)(x - 3y) = -(x^2 - 3xy - 2xy + 6y^2) = -(x^2 - 5xy + 6y^2) = -x^2 + 5xy - 6y^2 $$

522. Преобразуйте в многочлен:

a) (x³ + y)(x² – y²)

$$ (x^3 + y)(x^2 - y^2) = x^5 - x^3y^2 + x^2y - y^3 $$

б) (a³ – 2b)(a – 4b²)

$$ (a^3 - 2b)(a - 4b^2) = a^4 - 4a^3b^2 - 2ab + 8b^3 $$

в) (3a² – 1)(6a² + 2)

$$ (3a^2 - 1)(6a^2 + 2) = 18a^4 + 6a^2 - 6a^2 - 2 = 18a^4 - 2 $$

г) (x² – 3y)(x + 2y²)

$$ (x^2 - 3y)(x + 2y^2) = x^3 + 2x^2y^2 - 3xy - 6y^3 $$

д) –(а – 4b)(a³ – b³)

$$ -(a - 4b)(a^3 - b^3) = -(a^4 - ab^3 - 4a^3b + 4b^4) = -a^4 + ab^3 + 4a^3b - 4b^4 $$

e) –(3a² – 2b²)(2b² + 3a²)

$$ -(3a^2 - 2b^2)(2b^2 + 3a^2) = -(6a^2b^2 + 9a^4 - 4b^4 - 6a^2b^2) = -(9a^4 - 4b^4) = -9a^4 + 4b^4 $$