5*. Около остроугольного треугольника АВС описана окружность с центром О. Расстояние от точки О до прямой АВ равно 6 см, $$\angle AOC = 90^\circ$$, $$\angle OBC = 15^\circ$$ Найдите: а) угол АВО; б) радиус окружности.

a) Так как расстояние от точки O до прямой AB равно 6 см, то это перпендикуляр, опущенный из O на AB. Пусть этот перпендикуляр будет OH. Тогда OH = 6 см. Угол $$\angle AOC = 90^\circ$$ - центральный угол, опирающийся на дугу AC. Значит, вписанный угол $$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$$.
Угол $$\angle OBC = 15^\circ$$. Тогда угол $$\angle ABO = \angle ABC - \angle OBC = 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ$$.

б) Рассмотрим треугольник $$\Delta BOH$$. Он прямоугольный, $$\angle HBO = 30^\circ$$, $$OH = 6$$ см. Тогда $$OB = \frac{OH}{\sin \angle HBO} = \frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12$$ см. Радиус окружности равен OB.

Ответ: а) 30°; б) 12 см