Решение задачи:

1. Найдем, сколько метров дороги заасфальтирует первая бригада за 1 день:

   $$1200 : 6 = 200 \text{ (м)}$$

2. Найдем, сколько метров дороги заасфальтирует вторая бригада за 1 день:

   $$1200 : 12 = 100 \text{ (м)}$$

3. Найдем, сколько метров дороги заасфальтируют обе бригады вместе за 1 день:

   $$200 + 100 = 300 \text{ (м)}$$

4. Найдем, за сколько дней обе бригады заасфальтируют 1200 м дороги, работая вместе:

   $$1200 : 300 = 4 \text{ (дня)}$$

Ответ: Обе бригады заасфальтируют этот участок дороги за 4 дня, работая вместе.