Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Решение:

В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. По условию, другой угол равен 60°. Третий угол равен \( 180° - 90° - 60° = 30° \).

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Пусть гипотенуза равна \( c \) см, а катет, лежащий против угла 30°, равен \( a \) см. Тогда \( a = \frac{1}{2}c \).

По условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см:

\[ c + a = 18 \]

Подставим \( a = \frac{1}{2}c \) в уравнение:

\[ c + \frac{1}{2}c = 18 \]\[ \frac{3}{2}c = 18 \]\[ c = 18 × \frac{2}{3} \]\[ c = 12 \]

Гипотенуза равна 12 см.

Найдем меньший катет:

\[ a = \frac{1}{2}c = \frac{1}{2} × 12 = 6 \]

Меньший катет равен 6 см.

Ответ: Гипотенуза — 12 см, меньший катет — 6 см.