3) OC = 2, DN = 2, ∠((ADC); (ABC)) = ?

Пошаговое решение:

• В основании пирамиды лежит квадрат, так как это правильная пирамида.
• OC = 2 — половина диагонали квадрата. Значит, диагональ квадрата AC = 4.
• Сторона квадрата \( a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \).
• Так как DN = 2, то DN — высота боковой грани ADC, проведенная к стороне AC.
• ON — половина стороны квадрата, значит, ON = \( \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник DON. Угол ∠DNO — искомый угол между плоскостями (ADC) и (ABC).
• \( tg(∠DNO) = \frac{DO}{ON} \). DO — высота пирамиды.
• Так как пирамида правильная, точка O — центр квадрата, и DO — перпендикуляр к плоскости ABC.
• Треугольник DOC — прямоугольный, где DC = \(2\sqrt{2}\), OC = 2. Тогда \( DO = \sqrt{DC^2 - OC^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 2^2} = \sqrt{8 - 4} = \sqrt{4} = 2\).
• \( tg(∠DNO) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \).
• ∠DNO = arctg(\( \sqrt{2} \)) ≈ 54,7°.

Ответ: arctg(\( \sqrt{2} \)) ≈ 54,7°