9) AB = 2, PD = √13, ∠((PCD); (ABC)) = ?

Пошаговое решение:

• В основании пирамиды лежит квадрат, так как это правильная пирамида. AB = 2 — сторона квадрата.
• Тогда AC = \(2\sqrt{2}\), OC = \(\sqrt{2}\).
• Пусть PO — высота пирамиды. Тогда треугольник POC — прямоугольный, где PD = \(\sqrt{13}\), OD = \(\sqrt{2}\).
• По теореме Пифагора: \(PO = \sqrt{PD^2 - OD^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{13 - 2} = \sqrt{11}\).
• Рассмотрим треугольник PCD. PC = PD = \(\sqrt{13}\), CD = 2. Пусть PE — высота, проведенная к стороне CD.
• Так как треугольник PCD равнобедренный, PE является медианой, и DE = EC = 1.
• Из прямоугольного треугольника PEC: \(PE = \sqrt{PC^2 - EC^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - 1^2} = \sqrt{13 - 1} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).
• Искомый угол — это угол PEO. Рассмотрим прямоугольный треугольник PEO.
• \(tg(∠PEO) = \frac{PO}{OE} = \frac{\sqrt{11}}{1} = \sqrt{11}\).
• ∠PEO = arctg(\( \sqrt{11} \)) ≈ 73,2°.

Ответ: arctg(\( \sqrt{11} \)) ≈ 73,2°