Решение заданий по тригонометрии

1. Найти значение функции:

   Дано: $$y = cos(x + \frac{\pi}{6})$$ при $$x = \frac{\pi}{3}$$

   Решение: $$y = cos(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = cos(\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = cos(\frac{3\pi}{6}) = cos(\frac{\pi}{2}) = 0$$

   Дано: $$y = cos(x + \frac{\pi}{3})$$ при $$x = \frac{\pi}{6}$$

   Решение: $$y = cos(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}) = cos(\frac{3\pi}{6}) = cos(\frac{\pi}{2}) = 0$$

2. Выяснить, принадлежит ли графику функции $$y = cosx$$ точка с координатами:

   $$\left(\frac{7\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

   Проверка: $$cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Следовательно, точка принадлежит графику функции.

   $$\left(\frac{14\pi}{6}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

   Проверка: $$cos\left(\frac{14\pi}{6}\right) = cos\left(2\pi + \frac{2\pi}{6}\right) = cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}
   eq \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Следовательно, точка не принадлежит графику функции.

3. Сравнить числа:

   а) $$cos\left(-\frac{5\pi}{8}\right)$$ и $$cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right)$$

   $$cos\left(-\frac{5\pi}{8}\right) = cos\left(\frac{5\pi}{8}\right)$$, $$cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Так как $$cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) > 0$$ и $$cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) < 0$$, то $$cos\left(-\frac{5\pi}{8}\right) > cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right)$$

   б) $$cos\frac{35\pi}{4}$$ и $$cos\frac{31\pi}{8}$$

   $$cos\frac{35\pi}{4} = cos\left(8\pi + \frac{3\pi}{4}\right) = cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   $$cos\frac{31\pi}{8} = cos\left(4\pi - \frac{\pi}{8}\right) = cos\left(-\frac{\pi}{8}\right) = cos\frac{\pi}{8}$$

   Так как $$cos\frac{3\pi}{4} < 0$$ и $$cos\frac{\pi}{8} > 0$$, то $$cos\frac{35\pi}{4} < cos\frac{31\pi}{8}$$

   в) $$cos\frac{\pi}{5}$$ и $$cos\frac{5\pi}{4}$$

   $$cos\frac{\pi}{5} > 0$$

   $$cos\frac{5\pi}{4} = cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$$

   Следовательно, $$cos\frac{\pi}{5} > cos\frac{5\pi}{4}$$

4. С помощью графика функции $$y = cosx$$ найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку:

   a) $$cosx = -\frac{\sqrt{3}}{2}, [-\pi; \frac{\pi}{2}]$$

   $$x = -\frac{5\pi}{6}$$

   б) $$cosx = \frac{1}{2}, [0; \frac{3\pi}{2}]$$

   $$x = \frac{\pi}{3}$$

   в) $$cosx = \frac{\sqrt{2}}{2}, [-\frac{3\pi}{2}; 0]$$

   $$x = -\frac{\pi}{4}$$

5. С помощью графика функции $$y = cosx$$ найти решения неравенства, принадлежащие данному промежутку:

   a) $$cosx > \frac{\sqrt{2}}{2}, [-\frac{\pi}{2}; 2\pi]$$

   $$x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{4}) \cup (\frac{7\pi}{4}; 2\pi]$$

   б) $$cosx \le -1, [-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$$

   $$x = -\pi$$

   в) $$cosx \ge 1, [-\frac{\pi}{2}; 2\pi]$$

   $$x = 0, 2\pi$$