Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y=√1-х² и х+у=1, равен разности интегралов

Для вычисления объема тела вращения вокруг оси Ox, образованного фигурой, ограниченной линиями $$y = \sqrt{1 - x^2}$$ и $$x + y = 1$$, нужно найти разность интегралов.

Линия $$x + y = 1$$ может быть записана как $$y = 1 - x$$. Пересечение двух линий находится путем решения уравнения $$\sqrt{1 - x^2} = 1 - x$$.

Возводя обе части в квадрат, получаем $$1 - x^2 = (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2$$.

Отсюда $$2x^2 - 2x = 0$$, или $$2x(x - 1) = 0$$, что дает $$x = 0$$ и $$x = 1$$.

Объем тела вращения находится как разность интегралов от квадратов функций, умноженных на $$\pi$$:

$$V = \pi \int_{0}^{1} ((\sqrt{1 - x^2})^2 - (1 - x)^2) dx = \pi \int_{0}^{1} ((1 - x^2) - (1 - x)^2) dx$$

$$V = \pi \int_{0}^{1} (1 - x^2 - (1 - 2x + x^2)) dx = \pi \int_{0}^{1} (1 - x^2 - 1 + 2x - x^2) dx$$

$$V = \pi \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx$$

Следовательно, правильный ответ:

$$\pi \int_{0}^{1} (1 - x^2) dx - \pi \int_{0}^{1} (1 - x)^2 dx$$