Найти угол ODC.

Решение:

В круге угол, опирающийся на дугу, в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Также, вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Угол \(\angle BAC = 55^\circ\) является вписанным углом, опирающимся на дугу BC.

Следовательно, градусная мера дуги BC равна \(2 \cdot 55^\circ = 110^\circ\).

Центральный угол, опирающийся на дугу BC, равен \(\angle BOC = 110^\circ\).

Угол \(\angle ODC\) является углом в треугольнике \(ODC\). \(OD\) и \(OC\) — радиусы круга, поэтому \(OD = OC\).

Треугольник \(ODC\) — равнобедренный.

Угол \(\angle DOC\) — центральный угол, опирающийся на дугу DC.

Угол \(\angle CAD\) — вписанный угол, опирающийся на дугу CD. \(\angle CAD = \angle CDA = \angle ODC\) (так как \(OD=OC\)).

Угол \(\angle BOC = 110^\circ\) — центральный угол. Угол \(\angle COD\) и \(\angle BOC\) смежные, если точки B, O, D лежат на одной прямой (что не очевидно из рисунка). Из рисунка следует, что BD — диаметр.

Если BD — диаметр, то \(\angle BCD = 90^\circ\) (вписанный угол, опирающийся на диаметр).

Рассмотрим треугольник ABC. \(\angle BAC = 55^\circ\).

Если BD — диаметр, то \(\angle BCD = 90^\circ\).

В треугольнике \(OCD\), \(OC = OD\) (радиусы).

Угол \(\angle BOC = 110^\circ\).

Угол \(\angle COD\) является смежным с \(\angle BOC\) только если C, O, D лежат на одной прямой, что не так.

Угол \(\angle ABC\) опирается на дугу ADC. Дуга ADC = \(360^\circ - \text{дуга } AC\).

Из рисунка видно, что BD - диаметр, поэтому \(\angle BAD = 90^\circ\) и \(\angle BCD = 90^\circ\).

Угол \(\angle BAC = 55^\circ\) опирается на дугу BC. Значит, дуга BC = \(2 \times 55^\circ = 110^\circ\).

Центральный угол \(\angle BOC = 110^\circ\).

Угол \(\angle ODC\) — это угол в равнобедренном треугольнике \(ODC\), где \(OD = OC\) (радиусы).

Чтобы найти \(\angle ODC\), нам нужно знать \(\angle COD\).

В треугольнике \(OBC\), \(OB = OC\) (радиусы), поэтому он равнобедренный. \(\angle OBC = \angle OCB = (180^\circ - 110^\circ) / 2 = 70^\circ / 2 = 35^\circ\).

Так как BD — диаметр, \(\angle BCD = 90^\circ\). \(\angle OCB = 35^\circ\), значит \(\angle OCD = \angle BCD - \angle OCB = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\).

В равнобедренном треугольнике \(ODC\), \(\angle ODC = \angle OCD = 55^\circ\).

Ответ: \(\angle ODC = 55^\circ\).