Найти производную \(y_x'\) от функции, заданной параметрически: $$\begin{cases} x = a t \cos t, \\ y = a t \sin t, \end{cases} t \in [0, 2\pi]$$

Для нахождения производной \(y_x'\) функции, заданной параметрически, воспользуемся формулой: $$y_x' = \frac{dy/dt}{dx/dt}$$ Сначала найдем производные \(dy/dt\) и \(dx/dt\): 1. Найдем \(dy/dt\): $$\frac{dy}{dt} = \frac{d(a t \sin t)}{dt}$$ Применим правило произведения: \((uv)' = u'v + uv'\), где \(u = a t\) и \(v = \sin t\). $$\frac{dy}{dt} = a (\frac{d t}{dt} \sin t + t \frac{d(\sin t)}{dt}) = a(\sin t + t \cos t)$$ 2. Найдем \(dx/dt\): $$\frac{dx}{dt} = \frac{d(a t \cos t)}{dt}$$ Применим правило произведения: \((uv)' = u'v + uv'\), где \(u = a t\) и \(v = \cos t\). $$\frac{dx}{dt} = a (\frac{d t}{dt} \cos t + t \frac{d(\cos t)}{dt}) = a(\cos t - t \sin t)$$ Теперь найдем \(y_x'\): $$y_x' = \frac{a(\sin t + t \cos t)}{a(\cos t - t \sin t)} = \frac{\sin t + t \cos t}{\cos t - t \sin t}$$ Таким образом, производная \(y_x'\) равна: $$\frac{\sin t + t \cos t}{\cos t - t \sin t}$$ Ответ: \(\frac{\sin t + t \cos t}{\cos t - t \sin t}\)