Найти первый член и сумму 14 первых членов арифметической прогрессии (ап), если а4 = -14 и а9 = 11.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Запишем формулы для a₄ и a₉ через первый член (a₁) и разность (d):\( a_4 = a_1 + 3d = -14 \)\( a_9 = a_1 + 8d = 11 \)
• Шаг 2: Решим систему уравнений. Вычтем первое уравнение из второго: \( (a_1 + 8d) - (a_1 + 3d) = 11 - (-14) \)\( 5d = 25 \)\( d = 5 \)
• Шаг 3: Подставим значение d в первое уравнение: \( a_1 + 3(5) = -14 \)\( a_1 + 15 = -14 \)\( a_1 = -29 \)
• Шаг 4: Находим сумму 14 первых членов прогрессии (S₁₄). Используем формулу: \( S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n \), где \( n = 14 \), \( a_1 = -29 \), \( d = 5 \). Подставляем значения: \( S_{14} = \frac{2(-29) + (14 - 1)(5)}{2} \cdot 14 = \frac{-58 + 13(5)}{2} \cdot 14 = \frac{-58 + 65}{2} \cdot 14 = \frac{7}{2} \cdot 14 = 7 \cdot 7 = 49 \)

Ответ: Первый член равен -29, сумма 14 первых членов равна 49.