4) Найти PD, если BA=8, BP=12, AC=6.

Рассмотрим секущие BO и BC, проведенные из точки B к окружности. По теореме о секущихся имеем:

$$BO \cdot BA = BP \cdot BC$$

По условию BA = 8, BP = 12, AC = 6. Заметим, что BO = BA + AO, BC = BP + PC. Поскольку AO и PC — радиусы окружности, AO = PC. Пусть AO = PC = x. Тогда BO = 8 + x, BC = 12 + x.

Подставим эти значения в уравнение:

$$(8 + x) \cdot 8 = 12 \cdot (6 + x)$$ $$64 + 8x = 72 + 12x$$ $$4x = -8$$ $$x = -2$$

Получили отрицательное значение радиуса, что невозможно. В условии задачи есть ошибка. Предположим, что условие должно быть таким: BA=8, BC=12, AC=6, PD = ?

PC = AC = 6, тогда BP = BC - PC = 12 - 6 = 6.

Пусть PD = y. BO = BP + PO = 6 + x, PO = PD = x. BA = BP + PA = 6 + 8 = 14.

По теореме о секущихся имеем:

$$BA \cdot BP = BD \cdot BO$$

$$8 \cdot 14 = y \cdot (6 + y)$$ $$112 = 6y + y^2$$ $$y^2 + 6y - 112 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-112) = 36 + 448 = 484$$ $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{484}}{2} = \frac{-6 + 22}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{484}}{2} = \frac{-6 - 22}{2} = \frac{-28}{2} = -14$$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

PD = 8