Найти: $$P_{BDKF}$$

Рассмотрим рисунок. Из условия задачи известно, что $$CD = DF$$, $$AK = KF$$ и $$AC = AB$$. Это означает, что $$AD$$, $$BK$$ – медианы треугольника $$ACF$$. Точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Но нам это не понадобится.

Медиана $$AD$$ делит треугольник $$ACF$$ на два равновеликих (равных по площади) треугольника: $$S_{ACD} = S_{ADF}$$. Аналогично, $$S_{ABK} = S_{BKF}$$.

Отрезок $$BD$$ – средняя линия треугольника $$ACF$$, так как $$AB = BC$$ и $$CD = DF$$. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине. Следовательно, $$BD \parallel AF$$ и $$BD = \frac{1}{2}AF = \frac{1}{2}(6 \text{ см} + 6 \text{ см}) = 6 \text{ см}$$.

Отрезок $$DK$$ – средняя линия треугольника $$BCF$$, так как $$CD = DF$$ и $$AK = KF$$. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине. Следовательно, $$DK \parallel BC$$ и $$DK = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} cdot 4 \text{ см} = 2 \text{ см}$$.

Отрезок $$BK$$ – средняя линия треугольника $$ACF$$, так как $$AB = BC$$ и $$AK = KF$$. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине. Следовательно, $$BK \parallel CF$$ и $$BK = \frac{1}{2}CF = \frac{1}{2}(5 \text{ см} + 5 \text{ см}) = 5 \text{ см}$$.

Отрезок $$FK$$ – средняя линия треугольника $$ABC$$, так как $$AK = KF$$ и $$AB = BC$$. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине. Следовательно, $$FK \parallel AC$$ и $$FK = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} cdot 4 \text{ см} = 2 \text{ см}$$.

Периметр $$P_{BDKF}$$ равен сумме длин всех сторон: $$P_{BDKF} = BD + DK + KF + FB = 6 \text{ см} + 2 \text{ см} + 5 \text{ см} + 2 \text{ см} = 15 \text{ см}$$.

Ответ: 15 см