574. Найдите: а) сумму 2+4+6 + ... + 2п, слагаемыми которой являются все чётные натуральные числа от 2 до 2n: 6) сумму 1+3+5 + ... + (2n - 1), слагаемыми которой явля- ются все нечётные натуральные числа от 1 до 2n - 1.

а) Сумма четных натуральных чисел от 2 до 2n: 2 + 4 + 6 + ... + 2n

Это арифметическая прогрессия, где первый член $$a_1 = 2$$, разность $$d = 2$$, и последний член $$a_n = 2n$$.

Найдем количество членов в этой прогрессии. Т.к. каждый член равен $$2k$$, где $$k$$ меняется от 1 до $$n$$, то количество членов равно $$n$$.

Сумма арифметической прогрессии $$S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} = \frac{(2 + 2n)n}{2} = (1 + n)n = n^2 + n$$

б) Сумма нечетных натуральных чисел от 1 до 2n - 1: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)

Это арифметическая прогрессия, где первый член $$a_1 = 1$$, разность $$d = 2$$, и последний член $$a_n = 2n - 1$$.

Найдем количество членов в этой прогрессии. Общий член можно записать как $$2k - 1$$, где $$k$$ меняется от 1 до $$n$$. Значит, количество членов равно $$n$$.

Сумма арифметической прогрессии $$S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} = \frac{(1 + 2n - 1)n}{2} = \frac{2n^2}{2} = n^2$$

Ответ: а) $$n^2 + n$$, б) $$n^2$$