578. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической про- грессии (сп), если с7 = 18,5 и с17 = -26,5.

Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии $$(c_n)$$, если $$c_7 = 18.5$$ и $$c_{17} = -26.5$$.

Запишем общую формулу n-го члена арифметической прогрессии: $$c_n = c_1 + (n - 1)d$$

Тогда: $$c_7 = c_1 + 6d = 18.5$$ и $$c_{17} = c_1 + 16d = -26.5$$

Вычтем из второго уравнения первое: $$(c_1 + 16d) - (c_1 + 6d) = -26.5 - 18.5 \Rightarrow 10d = -45 \Rightarrow d = -4.5$$

Подставим значение d в первое уравнение: $$c_1 + 6 \cdot (-4.5) = 18.5 \Rightarrow c_1 - 27 = 18.5 \Rightarrow c_1 = 45.5$$

Сумма первых 20 членов: $$S_{20} = \frac{2c_1 + (20 - 1)d}{2} \cdot 20 = \frac{2 \cdot 45.5 + 19 \cdot (-4.5)}{2} \cdot 20 = (45.5 - 19 \cdot 2.25) \cdot 20 = (91 - 85.5) \cdot 10 = 5.5 \cdot 10 = 55$$

Ответ: 55