Решение задач

1. Найдите значение выражения:

а) $$\left(1 \frac{5}{6} + \frac{3}{5}\right) \cdot 24$$

Сначала приведем дроби к общему знаменателю внутри скобок:$$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30}$$, $$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{18}{30}$$

Тогда: $$1 \frac{5}{6} + \frac{3}{5} = 1 \frac{25}{30} + \frac{18}{30} = 1 \frac{43}{30} = 1 + \frac{43}{30} = \frac{30}{30} + \frac{43}{30} = \frac{73}{30}$$

Теперь умножим на 24: $$\frac{73}{30} \cdot 24 = \frac{73 \cdot 24}{30} = \frac{73 \cdot 4}{5} = \frac{292}{5} = 58,4$$

Ответ: $$\left(1 \frac{5}{6} + \frac{3}{5}\right) \cdot 24 = 58,4$$

б) $$(4,2 - 5,8) : 20$$

Сначала выполним вычитание в скобках: $$4,2 - 5,8 = -1,6$$

Теперь разделим на 20: $$-1,6 : 20 = -0,08$$

Ответ: $$(4,2 - 5,8) : 20 = -0,08$$

2. Вычислите:

а) $$7^3 - 10^3$$

Вычислим каждое значение степени: $$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$$, $$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$$

Тогда: $$7^3 - 10^3 = 343 - 1000 = -657$$

Ответ: $$7^3 - 10^3 = -657$$

б) $$(-1)^{12} - (-3)^5$$

Вычислим каждое значение степени: $$(-1)^{12} = 1$$, $$(-3)^5 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243$$

Тогда: $$(-1)^{12} - (-3)^5 = 1 - (-243) = 1 + 243 = 244$$

Ответ: $$(-1)^{12} - (-3)^5 = 244$$

в) $$6 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3$$

Вычислим значение степени: $$\left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{5^3}{6^3} = \frac{125}{216}$$

Тогда: $$6 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 6 \cdot \frac{125}{216} = \frac{6 \cdot 125}{216} = \frac{125}{36} = 3 \frac{17}{36}$$

Ответ: $$6 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 3 \frac{17}{36}$$

3. Не выполняя вычислений, сравните:

а) $$(-8)^5 \text{ и } -8^5$$

$$(-8)^5$$ - это отрицательное число, так как отрицательное число в нечетной степени есть число отрицательное. $$-8^5$$ - это отрицательное число. Но! $$-8^5 = -(8^5)$$, а $$(-8)^5 = (-8) \cdot (-8) \cdot (-8) \cdot (-8) \cdot (-8)$$. Так как число $$(-8)^5$$ отрицательное, а $$-8^5$$ тоже отрицательное, то можно заключить, что $$(-8)^5 = -8^5$$

Ответ: $$(-8)^5 = -8^5$$

б) $$0 \text{ и } (-1,5)^3$$

$$(-1,5)^3$$ - это отрицательное число, так как отрицательное число в нечетной степени есть число отрицательное.

Ответ: $$0 > (-1,5)^3$$

в) $$(-3)^6 \text{ и } (-5)^7$$

$$(-3)^6$$ - это положительное число, так как отрицательное число в четной степени есть число положительное.

$$(-5)^7$$ - это отрицательное число, так как отрицательное число в нечетной степени есть число отрицательное.

Ответ: $$(-3)^6 > (-5)^7$$

г) $$(-2,1)^4 \text{ и } 0$$

$$(-2,1)^4$$ - это положительное число, так как отрицательное число в четной степени есть число положительное.

Ответ: $$(-2,1)^4 > 0$$

4. Задача

6 трактористов вспахали 648 га, что составляет $$\frac{4}{5}$$ месячной нормы.

Чтобы найти месячную норму, нужно знать, сколько составляет 1 часть, для этого: $$648 : 4 = 162$$ га.

Теперь, чтобы найти, сколько составляет 5 частей, нужно: $$162 \cdot 5 = 810$$ га.

Ответ: По норме надо было вспахать 810 га.

5. Задача

В бензобаке 48 л бензина. В первый день израсходовали 30%, во второй день израсходовали 25% от остатка.

Сначала найдем, сколько литров израсходовали в первый день: $$48 \cdot 0,3 = 14,4$$ литра.

Тогда, после первого дня осталось: $$48 - 14,4 = 33,6$$ литра.

Во второй день израсходовали 25% от остатка: $$33,6 \cdot 0,25 = 8,4$$ литра.

Тогда, после второго дня осталось: $$33,6 - 8,4 = 25,2$$ литра.

Ответ: В бензобаке осталось 25,2 литра бензина.