Решение:

Дано: $$log_{b} a = \frac{2}{11}$$

Найти: $$log_{a}(ab^{2})$$

Свойства логарифмов, которые нам понадобятся:

• $$log_{a}(xy) = log_{a}x + log_{a}y$$
• $$log_{a}x^n = n \cdot log_{a}x$$
• $$log_{a}b = \frac{1}{log_{b}a}$$

Преобразуем выражение:

$$log_{a}(ab^{2}) = log_{a}a + log_{a}b^{2} = 1 + 2log_{a}b$$

Так как $$log_{b} a = \frac{2}{11}$$, то $$log_{a}b = \frac{1}{log_{b}a} = \frac{1}{\frac{2}{11}} = \frac{11}{2}$$

Подставим найденное значение в исходное выражение:

$$1 + 2log_{a}b = 1 + 2 \cdot \frac{11}{2} = 1 + 11 = 12$$

Ответ: 12