Найдите значение выражения \( \frac{12^{11} \cdot 2^9}{24^9} \).

Задание 9. Вычисление значения выражения

Дано выражение: \( \frac{12^{11} \cdot 2^9}{24^9} \).

Решение:

1. Представим числа в виде простых множителей: \( 12 = 2^2 · 3 \) и \( 24 = 2^3 · 3 \).
2. Подставим это в выражение: \( \frac{(2^2 · 3)^{11} \cdot 2^9}{(2^3 · 3)^9} \)
3. Раскроем скобки, используя свойство \( (a · b)^n = a^n · b^n \) и \( (a^m)^n = a^{m · n} \): \( \frac{2^{2 · 11} · 3^{11} · 2^9}{2^{3 · 9} · 3^9} = \frac{2^{22} · 3^{11} · 2^9}{2^{27} · 3^9} \)
4. Сложим степени с одинаковыми основаниями в числителе: \( \frac{2^{22+9} · 3^{11}}{2^{27} · 3^9} = \frac{2^{31} · 3^{11}}{2^{27} · 3^9} \)
5. Разделим степени с одинаковыми основаниями, используя свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( 2^{31-27} · 3^{11-9} = 2^4 · 3^2 \)
6. Вычислим результат: \( 16 · 9 = 144 \).

Ответ: 144