Найдите значение выражения \(\frac{12^{11} \cdot 2^{9}}{24^{9}}\)

Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его.

1. Представим основания степеней через простые множители:
   • $$12 = 2^2 \cdot 3$$
   • $$24 = 2^3 \cdot 3$$
2. Подставим эти значения в исходное выражение: \[ \frac{(2^2 \cdot 3)^{11} \cdot 2^{9}}{(2^3 \cdot 3)^{9}} \]
3. Применим свойство степени $$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$: \[ \frac{(2^2)^{11} \cdot 3^{11} \cdot 2^{9}}{(2^3)^{9} \cdot 3^{9}} \]
4. Применим свойство степени $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$: \[ \frac{2^{2 \cdot 11} \cdot 3^{11} \cdot 2^{9}}{2^{3 \cdot 9} \cdot 3^{9}} = \frac{2^{22} \cdot 3^{11} \cdot 2^{9}}{2^{27} \cdot 3^{9}} \]
5. Применим свойство степени $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ в числителе: \[ \frac{2^{22+9} \cdot 3^{11}}{2^{27} \cdot 3^{9}} = \frac{2^{31} \cdot 3^{11}}{2^{27} \cdot 3^{9}} \]
6. Применим свойство степени $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$: \[ 2^{31-27} \cdot 3^{11-9} = 2^{4} \cdot 3^{2} \]
7. Вычислим результат: \[ 2^{4} = 16 \] \[ 3^{2} = 9 \] \[ 16 \cdot 9 = 144 \]

Ответ: 144