Решение:

1. Возведем дробь в квадрат: $$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$$
2. Разделим первую дробь на вторую, заменив деление умножением на перевернутую дробь: $$\frac{1}{4} : \frac{5}{6} = \frac{1}{4} * \frac{6}{5} = \frac{1 * 6}{4 * 5} = \frac{6}{20}$$
3. Сократим дробь на 2: $$\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$$
4. Разделим полученную дробь на третью, снова заменив деление умножением на перевернутую дробь: $$\frac{3}{10} : \frac{7}{15} = \frac{3}{10} * \frac{15}{7} = \frac{3 * 15}{10 * 7} = \frac{45}{70}$$
5. Сократим дробь на 5: $$\frac{45}{70} = \frac{9}{14}$$

Ответ: $$\frac{9}{14}$$