Найдите значение выражения √50 cos² 13π 8 – √50 sin² 13π 8 .

Решение:

Вынесем общий множитель \( \sqrt{50} \) за скобки:

\[ \sqrt{50} \left( \cos^2 \frac{13\pi}{8} - \sin^2 \frac{13\pi}{8} \right) \]

Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x \). Здесь \( x = \frac{13\pi}{8} \).

Угол \( 2x = 2 \cdot \frac{13\pi}{8} = \frac{13\pi}{4} \).

Выражение принимает вид:

\[ \sqrt{50} \cos \left( \frac{13\pi}{4} \right) \]

Угол \( \frac{13\pi}{4} \) можно представить как \( \frac{12\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 3\pi + \frac{\pi}{4} \). Так как косинус имеет период \( 2\pi \), \( \cos \left( 3\pi + \frac{\pi}{4} \right) = \cos \left( \pi + \frac{\pi}{4} \right) \).

Используя формулу \( \cos(\pi + y) = -\cos y \), получаем:

\[ \cos \left( \pi + \frac{\pi}{4} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь подставим это значение в выражение:

\[ \sqrt{50} \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \]

Упростим \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \).

\[ 5\sqrt{2} \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{5 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = -\frac{5 \cdot 2}{2} = -5 \]

Ответ: -5.