Найдите tga, если 3 sin a + 5 cos a +1 2 sin a + cos a +4 = 1 4 .

Решение:

Дано равенство:

\[ \frac{3 \sin \alpha + 5 \cos \alpha + 1}{2 \sin \alpha + \cos \alpha + 4} = \frac{1}{4} \]

Умножим обе части на 4 и на знаменатель:

\[ 4(3 \sin \alpha + 5 \cos \alpha + 1) = 1(2 \sin \alpha + \cos \alpha + 4) \]

Раскроем скобки:

\[ 12 \sin \alpha + 20 \cos \alpha + 4 = 2 \sin \alpha + \cos \alpha + 4 \]

Перенесём все члены с \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \) в левую часть, а константы в правую:

\[ 12 \sin \alpha - 2 \sin \alpha + 20 \cos \alpha - \cos \alpha = 4 - 4 \]

\[ 10 \sin \alpha + 19 \cos \alpha = 0 \]

Разделим обе части на \( \cos \alpha \) (предполагая, что \( \cos \alpha \neq 0 \)):

\[ 10 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + 19 = 0 \]

Так как \( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha \), получаем:

\[ 10 \operatorname{tg} \alpha + 19 = 0 \]

Выразим \( \operatorname{tg} \alpha \):

\[ 10 \operatorname{tg} \alpha = -19 \]

\[ \operatorname{tg} \alpha = -\frac{19}{10} \]

Проверим, что \( \cos \alpha \neq 0 \). Если \( \cos \alpha = 0 \), то \( \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k \). В этом случае \( \sin \alpha = \pm 1 \). Подставим в исходное уравнение:

\[ \frac{3(\pm 1) + 5(0) + 1}{2(\pm 1) + 0 + 4} = \frac{\pm 3 + 1}{\pm 2 + 4} \]

Если \( \sin \alpha = 1 \): \( \frac{3+1}{2+4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \neq \frac{1}{4} \).

Если \( \sin \alpha = -1 \): \( \frac{-3+1}{-2+4} = \frac{-2}{2} = -1 \neq \frac{1}{4} \).

Таким образом, \( \cos \alpha \neq 0 \) и \( \operatorname{tg} \alpha \) определён.

Ответ: tg \( \alpha = -\frac{19}{10} \).