Найдите значение выражения (40^4 - 3^4) / (43 * 37)

Решение:

Воспользуемся формулой разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) и представим числитель как разность квадратов.

1. Преобразуем числитель: \( 40^4 - 3^4 = (40^2)^2 - (3^2)^2 = (40^2 - 3^2)(40^2 + 3^2) \)
2. Вычислим \( 40^2 = 1600 \) и \( 3^2 = 9 \): \( (1600 - 9)(1600 + 9) = 1591 · 1609 \)
3. Преобразуем знаменатель: \( 43 · 37 \)
4. Заметим, что \( 40 = \frac{43+37}{2} \) и \( 3 = \frac{43-37}{2} \).
5. Тогда \( 40^2 = \left( \frac{43+37}{2} \right)^2 = \frac{43^2 + 2 · 43 · 37 + 37^2}{4} \) и \( 3^2 = \left( \frac{43-37}{2} \right)^2 = \frac{43^2 - 2 · 43 · 37 + 37^2}{4} \)
6. Значит, \( 40^4 - 3^4 = (40^2 - 3^2)(40^2 + 3^2) \)
7. Проще использовать формулу разности квадратов для всего числителя: \( 40^4 - 3^4 = (40^2 - 3^2)(40^2 + 3^2) = (40 - 3)(40 + 3)(40^2 + 9) = 37 · 43 · (1600 + 9) = 37 · 43 · 1609 \)
8. Теперь подставим это в выражение: \[ \frac{37 · 43 · 1609}{43 · 37} \]
9. Сократим \( 37 \) и \( 43 \): \( 1609 \)

Ответ: 1609