7. Найдите значение выражения 8 log165 log532. Ответ:

• Шаг 1: Преобразуем логарифмы, используя свойства смены основания логарифма.

Запишем \(\log_{16}5\) как \(\frac{\log_5 5}{\log_5 16}\) и \(\log_5 32\) как \(\frac{\log_2 32}{\log_2 5}\). Тогда выражение примет вид: \[8 \cdot \frac{\log_5 5}{\log_5 16} \cdot \log_5 32\]

• Шаг 2: Упростим выражение, используя свойства логарифмов.

\[8 \cdot \log_{16} 5 \cdot \log_5 32 = 8 \cdot \frac{\log_2 5}{\log_2 16} \cdot \frac{\log_2 32}{\log_2 5}\] Сокращаем \(\log_2 5\) в числителе и знаменателе: \[= 8 \cdot \frac{\log_2 32}{\log_2 16}\]

• Шаг 3: Вычислим значения логарифмов.

Так как \(16 = 2^4\), то \(\log_2 16 = 4\). Так как \(32 = 2^5\), то \(\log_2 32 = 5\). Получаем: \[8 \cdot \frac{5}{4} = 2 \cdot 5 = 10\]

Ответ: 10