Найдите значение выражения $$ \sqrt[4]{\frac{m^4}{25n^6}} $$ при $$ m = 8 $$ и $$ n = 4 $$.

Для решения этой задачи, подставим значения переменных $$ m $$ и $$ n $$ в выражение: $$ \sqrt[4]{\frac{m^4}{25n^6}} = \sqrt[4]{\frac{8^4}{25 \cdot 4^6}} $$ Теперь упростим выражение: $$ \sqrt[4]{\frac{8^4}{25 \cdot 4^6}} = \sqrt[4]{\frac{(2^3)^4}{5^2 \cdot (2^2)^6}} = \sqrt[4]{\frac{2^{12}}{5^2 \cdot 2^{12}}} $$ Сократим $$ 2^{12} $$ в числителе и знаменателе: $$ \sqrt[4]{\frac{1}{5^2}} = \sqrt[4]{\frac{1}{25}} = \sqrt[4]{\frac{1}{5^2}} $$ Теперь извлечем корень четвертой степени: $$ \sqrt[4]{\frac{1}{5^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} $$ Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $$ \sqrt{5} $$: $$ \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} $$ Таким образом, значение выражения равно: $$ \frac{\sqrt{5}}{5} $$ Ответ: $$\frac{\sqrt{5}}{5}$$